Hoe eindig is eindig?

Wiskunde is een spanningsveld tussen de algemeenheid van je aannames en de scherpte van je conclusies, zegt Veni-winnaar Robin de Jong. Hij kiest voor het laatste en gaat het bewijs aanscherpen van het vermoeden van Shafarevich.

Robin de Jong: 'Wij onderzoeken de meetkunde achter de vergelijkingen. Die is essentieel, want het is de meetkundige vorm van een kromme die bepaalt of het aantal oplossingen van een vergelijking eindig of oneindig is.'

'Schuwe wiskundige weigert prijs' en 'Russisch wiskundig genie is spoorloos', kopten de kranten vorige week. Het genie in kwestie is Grigori Perelman, die de belangrijkste wiskundige prijs ter wereld, de Fields Medal, toegekend kreeg, maar hem unverfroren weigerde. Perelman kreeg de prijs omdat hij een bewijs heeft geleverd voor het vermoeden van Poincaré, een van de grote onbewezen vermoedens in de wiskunde.

Mooi dat de wiskunde in het nieuws is, vindt Veni-winnaar Robin de Jong. Maar wel jammer van dat beeld van de wiskundige als wereldvreemde zonderling. 'De meeste wiskundigen zijn heel normale mensen die toevallig heel moeilijke dingen doen.'

Vermoedens
De Jong: 'Die grote vermoedens zijn heel belangrijk in de wiskunde. Ze dienen als leidraad voor het onderzoek, ze geven een idee wat waar is. Zonder die vermoedens zou het heel moeilijk zijn richting te vinden in het onderzoek.' In 2000 heeft het Amerikaanse Clay Mathematics Institute (www.claymath.org) zeven belangrijke onopgeloste problemen, waaronder dat van Poincaré, op het web gezet: de Millennium Prize Problems. Wie er een van oplost krijgt een miljoen dollar.

Shafarevich
Het vermoeden waar De Jong zelf aan gaat werken staat niet op die lijst, want dat is al bewezen. Het is het beroemde vermoeden van Igor Shafarevich. Dit vermoeden heeft betrekking op het aantal mogelijke vergelijkingen van een vaste graad die een bepaald 'slecht' gedrag vertonen (ze snijden bijvoorbeeld zichzelf) in een vast gekozen collectie van getalsystemen. Dat aantal vergelijkingen moet eindig zijn, zo beweerde Shafarevich in 1962. Twintig jaar later werd zijn vermoeden bewezen door Gerd Faltings. Dat er een algemeen bewijs is geleverd voor het vermoeden van Shafarevich wil echter niet zeggen dat het werk nu gedaan is. De Jong: 'Faltings heeft alleen bewezen dat het aantal mogelijkheden niet oneindig kan zijn. Maar hoeveel mogelijkheden zijn er dan precies? En kunnen we een grens geven? Ik wil stukjes van het bewijs effectief maken, zoals we dat in de wiskunde noemen.'

Meetkunde bepaalt eindigheid
De aritmetische meetkunde, het vakgebied van De Jong, ligt op het raakvlak van de meetkunde en de getaltheorie. De Jong: 'Wij onderzoeken de meetkunde achter de vergelijkingen. Die is essentieel, want het is de meetkundige vorm van een kromme die bepaalt of het aantal oplossingen van een vergelijking eindig of oneindig is. Dat is het vermoeden van Mordell. Mordell had het daarbij over de rationale getallen, de getallen die je als een breuk kunt schrijven. Het vermoeden van Mordell heeft alles te maken met dat van Shafarevich, en werd door dezelfde Faltings in een moeite door bewezen. Als het vermoeden van Shafarevich waar is, moet dat van Mordell namelijk ook waar zijn.'

Pythagoras
De Jong: 'Om te begrijpen waarom de meetkunde bepalend is voor het aantal oplossingen kun je een simpel voorbeeld nemen: de stelling van Pythagoras, x2 + y2 = z2. Een wiskundige wil altijd weten hoeveel oplossingen er voor zo'n vergelijking bestaan. Meestal wordt daarbij alleen gedacht aan hele getallen: bijvoorbeeld 32+ 42 = 52. Als je die getallen met twee vermenigvuldigt klopt het ook, en als je ze met 10 vermenigvuldigt ook. En zo kun je doorgaan, maar je wilt ook nieuwe families van oplossingen vinden. Bijvoorbeeld 52 + 122 = 132. Of je wilt niet alleen de hele getallen bekijken, maar ook de breuken. Een manier om nieuwe oplossingen te vinden is het probleem verplaatsen naar de meetkunde. Het grote verschil tussen de getaltheorie en de meetkunde is namelijk dat tussen getallen in een rij steeds open stukjes zitten, maar dat de meetkunde continu is. In de meetkunde zijn de oplossingen van de stelling van Pythagoras punten op een cirkel.'

Cirkels, elliptische krommen, en de rest
De Jong: 'Er valt een driedeling te maken in meetkundige vormen. Je hebt cirkels, elliptische krommen, en de rest. Voor een cirkel is het aantal oplossingen oneindig. Maar voor elliptische krommen, ruwweg de derdegraads vergelijkingen, ligt dat anders. Daarbij hangt de eindigheid of de oneindigheid van het aantal oplossingen af van de concrete vergelijking en de concrete kromme. Soms is het aantal oplossingen eindig, soms oneindig. En dan heb je nog de rest: ruwweg de vergelijkingen met een graad die hoger is dan drie. Voor die restcategorie is het aantal oplossingen eindig.'

Een zogenoemde driegatendonut. De complexe oplossingen van een vierdegraadsvergelijking.
Bron: Weisstein, Eric W. "Triple Torus." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/TripleTorus.html

Inperken
De Jong gaat de komende jaren proberen uit te zoeken hoeveel mogelijkheden er precies zijn voor de groep vergelijkingen waar het vermoeden van Shafarevich over gaat. Dat gaat hij niet doen voor het hele vermoeden. 'Faltings gaf een compleet bewijs, ik ga een gedeelte doen, een keuze maken. Inperken moet wel, want je wilt een sterkere conclusie geven. Dat is een soort van balans die je altijd hebt in de wiskunde tussen de algemeenheid van je aannames en de scherpte van je conclusies. Wat je aan de ene kant wint, verlies je aan de andere kant. Je kunt het vergelijken met een tapijt dat je in je kamer wilt leggen: als je het aan de ene kant plat drukt, word je er op een andere plek weer mee geconfronteerd.

Nieuwe typologieën
Hoe hij dat inperken precies gaat doen kan De Jong nog niet zo gemakkelijk aangeven. 'Wat je kunt doen, is bijvoorbeeld je onderzoek beperken tot een heel concrete reeks priemgetallen, of een nieuwe klasse van krommen invoeren. Hoewel wiskundigen nu sterk de neiging hebben om te denken in termen van unificatie, gaat dit proces eigenlijk weer een stapje terug. Voor dit probleem lijkt het zinvol om weer nieuwe typologieën te maken, zoals je de aloude indeling had van kegelsneden in parabolen, hyperbolen en ellipsen. Het kan zijn ook dat je wat aan transparantie moet inleveren door een technische definitie in te voeren. Toch blijft het van belang om ook te kunnen verkopen dat het om iets interessants gaat. Wiskundigen houden van eenvoud en bondigheid.'

Aardig
Er zijn niet veel mensen die zich met zijn onderwerp bezig houden, vertelt De Jong. Een collega-onderzoeker die het wel doet zit aan de Humboldt Universiteit in Berlijn. Een deel van zijn onderzoekstijd wil hij dan ook daar gaan doorbrengen. Internationale samenwerking is heel belangrijk in de wiskunde. Wiskundigen willen graag samenwerken. De Jong: 'Het is een behoorlijk open vakgebied. De meeste wiskundigen zijn erg aardig. Ze vallen ook niet hijgend over elkaar heen met allerlei nieuwe trends. Mijn ervaring is dat heel grote mensen hun ideeën graag willen delen.'


Robin de Jong studeerde wiskunde en wijsgebeerte in Leiden en promoveerde in december 2004 aan de UVA. Sinds 1 januari 2005 is hij verbonden aan het Vici-project van prof. dr. Bas Edixhoven over 'Arithmetic geometry, motives: computational aspects.' In juli 2006 kreeg hij een Veni-subsidie voor zijn eigen onderzoek aan het vermoeden van Shafarevich.

Links:

29 augustus 2006-HP